Вещественные (действительные) числа/Теорема Коши-Кантора о стягивающихся отрезках

Определение. Последовательность вложенных отрезков $[x_1,y_1],[x_2,y_2],...,[x_n,y_n]$ называется последовательностью стягивающихся отрезков, если $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N$ $\in \mathbb{N}$ : $\mathrm{\forall }n>N$ $\mid y_n-x_n\mid <\epsilon$.

Теорема.

Если $[x_1,y_1],[x_2,y_2],...,[x_n,y_n]$ - последовательность стягивающихся отрезков, то $\mathrm{\exists }$! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

$\{{x_n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, $\{{y_n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Множество $\{{x_n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ограничено сверху $\mathrm{\forall }{y}_n\Rightarrow \mathrm{\exists }\sup x_n=\alpha ;x_n\le \alpha ,x_n\le y_k\mathrm{\forall }n,k.$

Множество $\{{y_n\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ограничено снизу $\mathrm{\forall }{x}_n\Rightarrow \mathrm{\exists }\inf y_n=\beta ;y_n\ge \beta ,y_n\ge x_k\mathrm{\forall }n,k.$

$\alpha ,\beta \in [x_n,y_n]$, $\mathrm{\forall }n$; $x_n\le \alpha \le y_n$; $x_n\le \beta \le y_n$.

Покажем, что $\alpha \le \beta$.

Предположим, что $\alpha \ge \beta$. Тогда $\mathrm{\exists }{x}_n,y_n:x_n>y_n,$ чего быть не может.

Предположим, что $\alpha \le \beta$. Тогда $\beta -\alpha =0$. Положим $\epsilon =\beta -\alpha .$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N$ $(\epsilon ):\mathrm{\forall }n>N$ $(\epsilon )(y_n-x_n)<\epsilon$.

$\mathrm{\exists }{n}_0$: $\epsilon =\beta -\alpha$ $\le$ $y_n-x_n<\epsilon$. (*)

Значит, $\alpha =\beta .$

Предположим, что $\mathrm{\exists }$ другая точка $\gamma$, общая для всех отрезков: 1) $\gamma =\alpha$ ;2) $\gamma >\alpha$ ;3) $\gamma <\alpha$ . Но пункты 2), 3) невозможны, т.к. (*).