Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора $𝐚$ и $𝐛$. Приложим вектор $𝐚$ к некоторой точке $O$, получим $𝐚=\overrightarrow{OA}$. Приложим вектор $𝐛$ к точке $A$, получим $𝐛=\overrightarrow{AB}$. Тогда вектор $𝐜=\overrightarrow{OB}$ будем называть суммой векторов: $𝐜=𝐚+𝐛$.

Файл:Равенство векторов.PNG

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки $O$.

Приложим вектор $𝐚$ к другой точке $O^{\prime }$, получим $𝐚=\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}$. Приложим вектор $𝐛$ к точке $A^{\prime }$, получим $𝐛=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

Рассмотрим направленные отрезки $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$. Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку $OB{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора $𝐚$ на число $k$ называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору $𝐚$;
2. сонаправлен ему, если $k>0$, или противоположнонаправлен, если $k<0$;
3. длины связаны следующим соотношением: $|k𝐚|=|k|\cdot |𝐚|$.

Данное определение согласовано с определением сложения: Шаблон:Формула для любого натурального $n$.

Свойства линейных операций

Файл:Коммутативность сложения векторов.png

Коммутативность сложения векторов

Файл:Ассоциативность сложения векторов.png

Ассоциативность сложения векторов

Сложение векторов коммутативно: $𝐚+𝐛=𝐛+𝐚$.

Сложение векторов ассоциативно: $(𝐚+𝐛)+𝐜=𝐚+(𝐛+𝐜)$.

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: $𝐚+\mathrm{𝟎}=𝐚$. Очевидно, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{OA}$.

Для любого вектора $𝐚=\overrightarrow{AB}$ существует вектор $-𝐚=\overrightarrow{BA}$ такой, что $𝐚+(-𝐚)=\mathrm{𝟎}$ или $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\mathrm{𝟎}$.

Умножение вектора на число ассоциативно: $(\alpha \beta )𝐚=\alpha (\beta 𝐚)$. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: $(\alpha +\beta )𝐚=\alpha 𝐚+\beta 𝐚$.

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков $\alpha$ и $\beta$, в каждом случае утверждение очевидно.

Файл:Дистрибутивность умножения векторов.png

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: $\alpha (𝐚+𝐛)=\alpha 𝐚+\alpha 𝐛$. Это следует из подобия треугольников $\mathrm{△}OAB$ и $\mathrm{△}O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: $1𝐚=𝐚$.

Примечание

В алгебре изучаются так называемые алгебраические структуры. Это множества математических объектов, для которых определены некоторые операции, удовлетворяющие некоторым системам аксиом.

Пример такой структуры, изучаемой в линейной алгебре, — так называемое векторное (линейное) пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на элементы некоторого поля (например, поля вещественных чисел), причем эти операции удовлетворяют указанным выше свойствам.

В линейной алгебре изучаются общие свойства таких множеств, их элементы (их называют абстрактными векторами) не обязаны быть геометрическими векторами (хотя чаще всего именно их приводят в качестве наглядного примера).

В аналитической геометрии векторы нужны, в первую очередь для введения системы координат (см. ниже). Благодаря этому удается описать геометрические фигуры при помощи аналитических формул.

Линейные комбинации

Линейная комбинация векторов ${𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n$ с коэффициентами ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — вектор ${\alpha }_1{𝐚}_1+{\alpha }_2{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_n{𝐚}_n$. Если все коэффициенты равны нулю, линейную комбинацию называют тривиальной, иначе — нетривиальной.

Векторы ${𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, равная нулю.

Геометрический смысл линейной зависимости заключается в следующем:

1. система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;
2. система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;
3. всякие четыре вектора линейно зависимы.

Смотри также

Задачи