Сходимость числовых рядов

Критерий Коши сходимости числового ряда

Теорема.

Числовой ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ существует такое $N(\epsilon )$, что для всех $m>n>N(\epsilon )$

$\left|\sum _{k=n}^m{x}_k\right|<\epsilon$

Доказательство.

Заметим, что $\sum _{k=n}^m{x}_k=S_m-S_{n-1}$. После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности $S_n$.

Необходимое условие сходимости

Теорема.

Если ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ сходится, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0$.

Доказательство.

Из свойств пределов следует, что $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{n-1}$. Отсюда следует, что $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_n-S_{n-1})=0$.