Композиция функций и обратные отображения

Если отображения $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ таковы, что $g$ определено на множестве значений $f$, то можно построить новое отображение $g\circ f:X\to Z$ , значения которого $(g\circ f)*(x)=g(f(x))$ .

Такое отображение называют композицией функции $f$ и отображения $g$.

Свойства отображения функций.

1. $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

Доказательство. $h\circ (g\circ f)*(x)=(h\circ g)\circ f$ = $h\circ ((g\circ f)*(x))=h(g(f(x)))$ = $(h\circ g)f(x)$ $=((h\circ g)\circ f)(x)$.

2. $g\circ f$ ≠ $f\circ g$

Доказательство. Например, f : {a, b} → a, g : {a, b} → b. Очевидно,что $f\circ g\to a$, $g\circ f\to b$.

Определение. Отображение, отображающееся само на себя, т.е. f : X → X, называется тождественным отображением множества X и обозначается $e_X$.

3. Лемма. $(g\circ f=e_X)\Rightarrow$ (g - сюръективно ) $\wedge$ (f - инъективно)

Доказательство.

Если $f:X\to Y,g:Y\to X$ и $g\circ f=e_X$ : X → X, то $X=e_X(X)=(g\circ f)(X)=g(f(X))\subset g(Y)\Rightarrow$ g - сюръективно ;

Если $x_1\in X,x_2\in X$, то $(x_1\ne x_2)\Rightarrow (e_X(x_1)\ne e_X(x_2))\Rightarrow ((g\circ f)(x_1)\ne (g\circ f)(x_2))\Rightarrow (g(f(x_1))\ne g(f(x_2))\Rightarrow (f(x_1)\ne f(x_2))\Rightarrow$ f - инъективно.

4. Утверждение. Отображения $f:X\to Y,g:Y\to X$ взаимно обратны и биективны ↔ $(f\circ g=e_X)\Rightarrow$ $g\circ f=e_Y$.

Доказательство. В силу леммы f, g - биективны и y = f (x) ↔ x = g (y).

См. также

• Композиция функций