Теория вероятностей и математическая статистика/Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Схема Бернулли

Пусть проводятся $n$ независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может появиться событие $A$ с вероятностью $p$ и не появиться — с вероятностью $q=1-p$. Появление события $A$ называется успехом, а непоявление — неудачей. Тогда вероятность того, что в серии из $n$ испытаний событие $A$ появится ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$

Предельные теоремы для схемы Бернулли

С ростом $n$ форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

При больших значениях $n$ применение формулы Бернулли становится сложным. В таких случаях применяют приближенные формулы для вычисления вероятностей, которые основаны на локальной и интегральной теоремах Муавра - Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$, то для вычисления вероятности $P_n(k)$ можно использовать приближенную формулу, основанную на локальной теореме Муавра-Лапласа:

$P_n(k)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\phi (x)$, где $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Обозначим через $P_n(k_1\le k\le k_2)$ вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ наступило от $k_1$ до $k_2$ раз. Тогда, если число испытаний n велико, а вероятность $0<p<1$, из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует, что

$P_n(k_1\le k\le k_2)\approx \mathrm{\Phi }(x_2)-\mathrm{\Phi }(x_1)$, где $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$ - функция Лапласа, $x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}},x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$

Значения функций $\phi (x)$ и $\mathrm{\Phi }(x)$ находятся из соответствующих таблиц приложения 1 и приложения 2. При $x>5$ значение $\mathrm{\Phi }(x)$ полагают равным $0.5$. При применении этих функций часто пользуются их свойствами:

1. $\phi (x)=\phi (-x)$
2. $\mathrm{\Phi }(-x)=-\mathrm{\Phi }(x)$

Приближение Пуассона

Функция вероятности

Если в схеме Бернулли $n$ велико, а каждый отдельный успех маловероятен (является редким событием), то для определения вероятности $P_n(k)$ используют приближение Пуассона

$P_n(k)\approx \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$, где $\lambda =np$.

Примеры

Пример 1

Вероятность того, что станку в течение рабочего времени потребуется ремонт, равна $0.4$. Найти вероятность того, что в течение дня потребуется ремонт: а) двум станкам из четырех; б) трем и более станкам из четырех.

Решение:

а) В данной задаче $n=4$, $k=2$, $p=0.4$. По формуле Бернулли, получим: $P_4(2)=C_4^2(0.4{)}^2(1-0.4{)}^2=0.3456$.

б) Обозначим событие $A=$ {ремонт потребуется трем и более станкам из четырех}. Данное событие можно выразить с помощью более простых событий: $A_1=$ {ремонт потребуется трем станкам из четырех} и $A_2=$ {ремонт потребуется всем четырем станкам}. Так как эти события являются несовместными, то $P(A)=P(A_1+A_2)$$=P(A_1)+P(A_2)=P_4(3)+P_4(4)$$=C_4^3(0.4{)}^3(1-0.4{)}^1+C_4^4(0.4{)}^4(1-0.4{)}^0=0.1536+0.0256=0.1792$.

Пример 2

Вероятность попадания в цель при каждом из 100 независимых выстрелов постоянна и равна $0.8$. Найти вероятность того, что число попаданий в цель будет: а) 70; б) не менее 70 и не более 80.

Решение:

а) Необходимо найти вероятность $P_{100}(70)$. Применим локальную теорему Муавра – Лапласа: $n=100$, $k=70$, $p=0.8$, $q=1-p=0.2$. Тогда

$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-100\cdot 0.8}{\sqrt{100\cdot 0.8\cdot 0.2}}=-\frac{10}{4}=-2.5$

Используя таблицу из приложения 1, получим: $\phi (-2.5)=\phi (2.5)=0.0175$. Искомая вероятность равна $P_{100}(70)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\phi (x)$$=\frac{1}{4}\cdot 0.0175\approx 0.0044$.

б) Для нахождения искомой вероятности $P_{100}(70\le k\le 80)$ применим интегральную теорему Муавра – Лапласа, где $n=100$, $k_1=70$, $k_2=80$, $p=0.8$, $q=1-p=0.2$. Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-100\cdot 0.8}{\sqrt{100\cdot 0.8\cdot 0.2}}=-\frac{10}{4}=-2.5$:

$x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\frac{80-100\cdot 0.8}{\sqrt{100\cdot 0.8\cdot 0.2}}=0$.

Тогда искомая вероятность равна

$P_{100}(70\le k\le 80)\approx \mathrm{\Phi }(x_2)-\mathrm{\Phi }(x_1)$$=\mathrm{\Phi }(0)-\mathrm{\Phi }(-2.5)=\mathrm{\Phi }(0)+\mathrm{\Phi }(2.5)$$=0+0.4938=0.4938$ (приложение 2).

Пример 3

Микросхема электронного аппарата выходит из строя в течение часа работы с вероятностью $0.004$. Найти вероятность того, что в течение 1000 часов работы придется менять микросхему пять раз.

Решение:

Так как число испытаний $n=1000$ велико, а вероятность появления события «микросхема выходит из строя в течение часа работы» в одном испытании мала и равна $p=0.004$, то можно использовать приближение Пуассона: $k=5$, $\lambda =np=1000\cdot 0.004=4$. Искомая вероятность равна

$P_{1000}(5)\approx \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=\frac{e^{-4}{4}^5}{5!}\approx 0.156$

Упражнения

<quiz display=simple>

{ Выберите верную формулу Бернулли при небольших значениях $n$ |type="()"} + $P_n(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ - $P_n(k)=C_n^k{q}^k$ - $P_n(k)=C_n^k{p}^{n-k}{q}^k$

{В каком случае стоит использовать локальную теорему Муавра-Лапласа? |type="()"} - Если в схеме Бернулли $n$ велико, а каждый отдельный успех маловероятен - Если $k_1\le k\le k_2$ и в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$ + Если в схеме Бернулли число испытаний $n$ велико, а вероятность $0<p<1$

{ Выберите верные свойства функций $\phi (x)$ и $\mathrm{\Phi }(x)$,где $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ и $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$ - функция Лапласа |type="[]"} + $\phi (x)=\phi (-x)$ + $\mathrm{\Phi }(-x)=-\mathrm{\Phi }(x)$ - $\mathrm{\Phi }(x)=-\mathrm{\Phi }(x)$ - $\phi (x)=-\phi (x)$ </quiz>