Предел последовательности/Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть ${\alpha }_n$ и ${\beta }_n$ - бесконечно малые последовательности.

$\mathrm{\forall }$ $ϵ$ $>$ $0$ $N_1$ $(\mathrm{\exists })$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N_1$ $(\epsilon )$ , $\mid {\alpha }_n\mid$ $<$ $\epsilon$

$\mathrm{\forall }$ $ϵ$ $>$ $0$ $N_2$ $(\mathrm{\exists })$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N_2$ $(\epsilon )$ , $\mid {\beta }_n\mid$ $<$ $\epsilon$

$\mid$ ${\alpha }_n+{\beta }_n$ $\mid$ $\le$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $+$ $\mid$ ${\beta }_n$ $\mid$

$\mathrm{\forall }$ $ϵ$ $>$ $0$ $\mathrm{\exists }$ $N$ $=$ $max$ $($ $N_1$ $(\epsilon )$, $N_2$ $(\epsilon )$ $)$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $+$ ${\beta }_n$ $\mid$ $<$ $\epsilon$ $+$ $\epsilon$ $=$ $2*\epsilon$

2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо $\mid$ ${\alpha }_n+{\beta }_n$ $\mid$ $\le$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $+$ $\mid$ ${\beta }_n$ $\mid$ надо взять $\mid$ ${\alpha }_n-{\beta }_n$ $\mid$ $\le$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $+$ $\mid$ ${\beta }_n$ $\mid$.

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. $M$ $=$ $max$ { $\epsilon$, $\mid$ ${\alpha }_1$ $\mid$, ..., $\mid$ ${\alpha }_{N-1}$ $\mid$ }

$\mathrm{\forall }$ $n$ : $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $\le$ $M$.

4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

$\{{\alpha }_n\}$ бесконечно малая, $\{x_n\}$ - ограниченная.

$\mathrm{\exists }$ $c$ $>$ $0$ : $\mid$ $x_n$ $\mid$ $\le$ $c$ , $\mathrm{\forall }$ $n$ $<$ $N$

$\mathrm{\forall }$ $ϵ$ $>$ $0$ $\mathrm{\exists }$ $N$ $(\epsilon )$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N$ $(\epsilon )$ , $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $<$ $\epsilon /c$

$\mid$ ${\alpha }_n$ $*$ $x_n$ $\mid$ $=$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $*$ $\mid$ $x_n$ $\mid$ $\le$ $\epsilon /c$

$\mathrm{\forall }$ $\epsilon$ $>$ $0$ $\mathrm{\exists }$ $N$ $(\epsilon )$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N$ $(\epsilon )$

$\mid$ ${\alpha }_n$ $*$ $x_n$ $\mid$ $<$ $\epsilon$.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

$\{{\alpha }_n\}$ - бесконечно малая последовательность.

При $n$ ≥ $N*$ выполнено, что ${\alpha }_n$ $=$ $c$. Предположим, $c$ $\ne$ $0$.

Рассмотрим $\epsilon$ $=$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$ $>$ $0$. $\mathrm{\exists }$ $N$ $(\epsilon )$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N$ $(ϵ)$ $\mid$ ${\alpha }_n$ $\mid$ $<$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$.

Положим $N_1$ $=$ $max$ $(N(\epsilon )$ , $N*)$, тогда при $n$ $>$ $N$ , $\mid$ $c$ $\mid$ $<$ $\mid$ $c$ $\mid$ $/$ $2$ - противоречие, значит, $c$ $=$ $0$.

6 (а). Если $\{x_n\}$ - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность $\{1/x_n\}$ , причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если $\{y_n\}$ - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность $\{1/y_n\}$ , причём она является бесконечно большой.

Доказательство. $\mathrm{\forall }$ $M$ $>$ $0$ $\mathrm{\exists }$ $N$ $(M)$ : $\mathrm{\forall }$ $n$ $>$ $N$ $(M)$ $\mid$ $x_n$ $\mid$ $>$ $M$.

Из этого видно, что начиная с определённого номера $n$ $>$ $0$ , а это значит, что последовательность определена.

$\{1/x_n\}$ $<$ $1/M\Rightarrow \{1/x_n\}$ - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.