Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Миттаг-Леффлера

Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Теорема Миттаг-Леффлера.

Теорема. $\mathrm{\forall }f(z)\in M(ℂ)$ с полюсами в ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и главными частями рядов Лорана ${\{G_n(z)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\exists }$ такая $g\in O(ℂ)$ и такие многочлены $P_n(z):f(z)=g(z)+{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n(z)-P_n(z))$, и хвост этого ряда сходится равномерно внутри $ℂ$.

Доказательство. $a_n\to \mathrm{\infty }(\left|a_1\right|\le \left|a_2\right|\le \left|a_3\right|\le \cdots )$

$G_n(z)\in O(|z|<\frac{\left|a_n\right|}{2})$

в качестве $P_n(z)$ берём такой начальный кусочек ряда Тейлора $G_n(Z)$ в 0, что

${\Vert G_n(z)-P_n(z)\Vert }_{C(|z|\le \frac{\left|a_n\right|}{2})}\le \frac{1}{2^n}$

Тогда на круге $|z|\le \frac{\left|a_n\right|}{2}$

${\sum }_{n=N}^{\mathrm{\infty }}(G_n(z)-P_n(z))\le \frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}+\cdots$

Так как этот хвост сходится равномерно на этом круге, то ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n(z)-P_n(z))$ сходится равномерно на $ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,a_2,\dots \}$, и хвосты ряда сходятся равномерно; $g(z)=f(z)-{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n(z)-P_n(z))$

Теорема. (Миттаг-Леффлер) $\mathrm{\forall }{\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:a_n\to \mathrm{\infty }\wedge \mathrm{\forall }{G}_n(z)={\sum }_{k=1}^{N_n}\frac{C_k^{(n)}}{{(z-a_n)}^k}$

$\mathrm{\exists }f(z)\in M(ℂ):f(z)$ имеет полюсы именно в ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и в них её главные части рядов Лорана равны именно $G_n(z)$.

Доказательство.

$\left|a_1\right|\le \left|a_2\right|\le \left|a_3\right|\le \cdots$

Возьмём $P_n(z)$ как в предыдущей теоремет – начальный кусочек ряда Тейлора:

${\Vert G_n(z)-P_n(z)\Vert }_{C(|z|\le \frac{\left|a_n\right|}{2})}\le \frac{1}{2^n}$

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n(z)-P_n(z)$ сходится в $ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,a_2,\dots \}$, хвосты сходятся равномерно внутри $ℂ$ (по теореме Вейерштрасса).

Значит, $f={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n(z)-P_n(z)$ искомая функция.

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)