Комплексный анализ I/Билеты/Теоремы Рунге

Теорема. (первая теорема Рунгe) $⊐K\in ℂf\in O(K)$ (то есть $f\in O(u)$, $u$ открытое множество, содержащее $K$). Тогда $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ – рациональная функция такая, что $\Vert f-R{\Vert }_{C(K)}<\epsilon$, и полюсы $R$ (то есть нули $Q$) можно соединить с $ℂ\mathrm{\setminus }u$ непрерывными кривыми, не пересекающими $K$.

Доказательство. $\mathrm{\forall }z\in K\mathrm{\exists }V(z)\subset u\{V(z){\}}_{z\in u}$ открытое покрытие $K$$\Rightarrow \mathrm{\exists }$ конечное подпокрытие $\{V\left(z_1\right),\dots ,V\left(z_n\right)\}$.

$\partial (V\left(z_1\right)\cup \dots \cup V\left(z_n\right))={\bigcup }_{j=1}^m{\mathrm{\Gamma }}_j$ составной жорданов кусочногладкий контур

$K\subset {\bigcup }_{j=1}^m\mathrm{Int}{\mathrm{\Gamma }}_j\Rightarrow \mathrm{\forall }z\in Kf(z)={\sum }_{j=1}^m\frac{1}{2\pi i}\underset{{\mathrm{\Gamma }}_j}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Пусть ${\gamma }_k$ простые жордановы контуры, образующие ${\mathrm{\Gamma }}_j$, тогда

$R(z)={\sum }_{k=1}^l\frac{1}{2\pi i}{\sum }_{v=1}^n\frac{f\left({\xi }_v\right)}{{\xi }_v-z}({\xi }_v-{\xi }_{v-1})$

В этой сумме можно не писать интегральные суммы по ${\gamma }_k$, являющимся внутренними контурами некоторого ${\mathrm{\Gamma }}_j$ и внутренность которых лежит в $u$: $\underset{{\gamma }_k}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =0$, так как $z\notin \mathrm{Int}{\gamma }_k$, $f\in O(\mathrm{Int}{\gamma }_k)$, ${\xi }_v$ точки разбиения ${\gamma }_k$.

Также $f(z)={\sum }_{j=1}^m\frac{1}{2\pi i}{\sum }_{k=1}^l\underset{{\gamma }_k}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Обозначим через ${\mathrm{\Delta }}_{vk}$ дугу ${\gamma }_k$ от точки ${\xi }_{v-1}$ до точки ${\xi }_v$.

Оценим разность слагаемых из суммы для $R$ и для $f$.

$\underset{{\gamma }_k}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -{\sum }_{v=1}^n\frac{f\left({\xi }_v\right)}{{\xi }_v-z}({\xi }_v-{\xi }_{v-1})={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -{\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\frac{f\left({\xi }_v\right)}{{\xi }_v-z}d\xi =$

$={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }(\frac{f(\xi )}{\xi -z}-\frac{f\left({\xi }_v\right)}{{\xi }_v-z})d\xi ={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left(\frac{f(\xi )({\xi }_v-z)-f\left({\xi }_v\right)(\xi -z)}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi =$

$={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left(\frac{f(\xi ){\xi }_v-f(\xi )z-f\left({\xi }_v\right)\xi +f\left({\xi }_v\right)z}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi ={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left(\frac{f(\xi ){\xi }_v-f\left({\xi }_v\right)\xi +z(f\left({\xi }_v\right)-f(\xi ))}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi =$

$={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{yk}}{\int }\left(\frac{f(\xi ){\xi }_v-f\left({\xi }_v\right)\xi +z(f\left({\xi }_v\right)-f(\xi ))}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi =$

$={\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left(\frac{f(\xi )({\xi }_v-\xi )+\xi (f(\xi )-f\left({\xi }_v\right))+z(f\left({\xi }_v\right)-f(\xi ))}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi$

$\rho =\rho ({\gamma }_k,K)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\xi \in Y_k}{z\in K}}{\inf }|\xi -z|>0$

$|{\xi }_v-z|>\rho ,|\xi -z|>\rho$

разбиение: $\left|{\mathrm{\Delta }}_{vk}\right|<\delta \mathrm{\forall }v$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }\xi ,z\in \overline{\cup V\left(z_j\right)}:|\xi -z|<\delta \Rightarrow |f(\xi )-f(z)|<\epsilon$ (из за равномерной непрерывности на компакте $\overline{\cup V\left(z_j\right)}$)

$\mathrm{\forall }z\in \overline{\cup V\left(z_j\right)}|z|<M_Z|f(z)|<M_f$

$\left|{\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left(\frac{f(\xi )({\xi }_v-\xi )+\xi (f(\xi )-f\left({\xi }_v\right))+z(f\left({\xi }_v\right)-f(\xi ))}{(\xi -z)({\xi }_v-z)}\right)d\xi \right|\le$

$\le {\sum }_{v=1}^n\underset{{\mathrm{\Delta }}_{vk}}{\int }\left|{\mathrm{\Delta }}_{vk}\right|\frac{M_f\delta +M_z\epsilon +M_z\epsilon }{{\rho }^2}d\xi =\frac{M_f\delta +2M_z\epsilon }{{\rho }^2}\left|{\gamma }_k\right|$

Следовательно,

$|f(z)-R(z)|\le \frac{1}{2\pi }\frac{M_f\delta +2M_z\epsilon }{{\rho }^2}\sum \left|{\gamma }_k\right|$

Введём дополнительное условие $\delta <\epsilon$:

$\frac{1}{2\pi }\frac{M_f\delta +2M_z\epsilon }{{\rho }^2}\sum \left|{\gamma }_k\right|\le (\frac{1}{2\pi }\frac{M_f+2M_z}{{\rho }^2}\sum \left|{\gamma }_k\right|)\epsilon$

Полюсы $R(z)$ точки ${\xi }_v\in {\gamma }_k$ – можно соединить непрерывными кривыми, не пересекающими $K$, с $ℂ\mathrm{\setminus }u$.

Лемма. (о выводе полюсов) $⊐K\subset ℂ$, $\gamma$ кривая с началом $a$ и концом $b$, $\gamma \cap K=\mathrm{\varnothing }$.

$\Rightarrow$ функция $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{C_k}{(z-b{)}^k}$.

Доказательство.

$\rho =\rho (\gamma ,K)>0$

Возьмём разбиение $\gamma :a=a_0,a_1,\dots ,a_n=b:|a_k-a_{k+1}|<\frac{\rho }{2}\mathrm{\forall }k$

$\frac{1}{z-a}=\frac{1}{z-a_1+(a_1-a)}=\frac{1}{z-a_1}\frac{1}{1+\frac{a_1-a}{z-a_1}};|z-a_1|\ge \rho ,|a_1-a|<\frac{\rho }{2}$,

значит:

$\frac{1}{z-a_1}\frac{1}{1+\frac{a_1-a}{z-a_1}}=\frac{1}{z-a_1}{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1-a}{z-a_1}\right)}^n={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(a_1-a)}^n}{{(z-a_1)}^{n+1}}$ ряд сходится равномерно на $K$

Таким образом, $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{C_k}{{(z-a_1)}^k}$;

аналогично, $\frac{1}{z-a_1}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{S_k}{{(z-a_2)}^k}$;

значит, $\frac{1}{{(z-a_1)}^k}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{S_k}{{(z-a_2)}^k}$;

значит, $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{S_k}{{(z-a_2)}^k}$;

Рассуждая аналогично, можно доказать, что $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{S_k}{{(z-a_3)}^k}$, и так далее. В итоге, за конечное число шагов дойдём до того,что $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{S_k}{{(z-b)}^k}$.

Следствие 1. В первой теореме Рунге полюсы приближающих рациональных функций можно брать и вне $u$.

Доказательство. Следует из второй части теоремы Рунге и леммы.

Следствие 2. $\mathrm{\forall }D\subset ℂ,D$ область, $\mathrm{\forall }f\in O(D)\mathrm{\exists }{\left\{R_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},R_n\in O(D),R_n\rightrightarrows f$ внутри $D$ ($R_n$ рациональные функции).

Доказательство. Берём ${\left\{K_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ набор компактов, исчерпывающих $D$: $K_n=\{z\in D:|z|\le n,\rho (z,\partial D)\ge \frac{1}{n}\}$

Из следствия 1 $\mathrm{\exists }$ рациональные функции ${\left\{R_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:\Vert f-R_n\Vert <\frac{1}{n}$ и полюсы $R_n$ лежат вне $D$. Следовательно, $R_n\rightrightarrows f$ внутри $D$.

Следствие 3. (философское): $O(D)$ сепарабельное полное метрическое пространство.

Определение. Сепарабельное множество множество, в котором есть счётное всюду плотное подмножество.

Доказательство. $P(z)={\sum }_{k=1}^N{\sum }_{j=1}^{j_k}\frac{c_{kj}}{{(z-a_k)}^j}+b_0+b_{1}z+\cdots +b_m{z}^m$

Все $a_k$ не лежат в $D$, все $c_{kj},b_k,a_k$ имеют рациональноые действительную и мнимую части. Раз все $a_k$ не лежат в $D$, $R\in O(D)$. Такие $R(z)$ плотны в $O(D)$ в силу следствия 2.

Теорема. (вторая теорема Рунге) $K\subset ℂ,ℂ\mathrm{\setminus }K$ связно, (то есть в $K$ нет дырок), $f\in O(K)$, то есть $f\in O(u),u$ - открытое множество, содержащее $K$.

$\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }P(z)$ - многочлен такой, что $\Vert f-P{\Vert }_{C(K)}<\epsilon$.

Доказательство по первой теореме Рунге, точнее, из первого следствия из неё, $\mathrm{\exists }R(z)$ рациональная функция с полюсами вне $u:\Vert f-R{\Vert }_{C(K)}<\frac{\epsilon }{2}$.

Возьмём $V$ огромный круг с центром в нуле, содержащий все полюсы и $u$. $a$ не лежит в $V$; по лемме о выводе полюсов $\mathrm{\exists }\tilde{R}$ с полюсом в точке $a$:$\Vert R-\tilde{R}{\Vert }_{C(K)}<\frac{\epsilon }{4},\tilde{R}\in O(V)$

Пусть $P$ частичная сумма ряда Тейлора для ${\tilde{R}}_{}bV$ такая, что $\Vert P-\tilde{R}{\Vert }_{C(K)}<\frac{\epsilon }{4}$

$\Vert f-P{\Vert }_{C(K)}\le \Vert f-R{\Vert }_{C(K)}+\Vert R-\tilde{R}{\Vert }_{C(K)}+\Vert P-\tilde{R}{\Vert }_{C(K)}<\epsilon$

Следствие. $D$ односвязная область, $f\in O(D)$, тогда $\mathrm{\exists }{\{P_n(z)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ последовательность многочленов, что $P_n(z)\Rightarrow f$ внутри $D$.

Доказательство. односвязную область $D$ можно исчерпать компактами. $K_n=\{z\in D:|z|\le n,\rho (z,\partial D)\ge \frac{1}{n}\}$ $ℂ\mathrm{\setminus }K$ связны,по второй теореме Рунге $\mathrm{\exists }{P}_n(z)$ – ${\Vert f-P_n\Vert }_{C\left(K_n\right)}<\frac{1}{n}$ $\Rightarrow P_n(z)\rightrightarrows f$ внутри $D$.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)