Комплексный анализ I/Билеты/Многогранность голоморфности

Теорема. (три эквивалентных определения голоморфных функций): $⊐D$ область в $ℂ$ (не обязательно односвязная). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) $f\in O(D)$ (то есть $f$ $ℂ$дифференцируема в любой точке из $D$)

2) $f$ раскладывается в степенной ряд в любом круге из $D$

3) $f$ непрерывна в $D$, и по любому треугольному контуру $\mathrm{\Delta }\subset D:\overline{\mathrm{Int}}\mathrm{\Delta }\subset D\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=0$

Доказательство.

$1)\to 2)$ теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора из предыдущей лекции

$2)\to 1)$ свойство $4)$ степенных рядов

$1)\to 3)$ теорема Коши

$3)\to 1)$ теорема Мореры:

$\mathrm{\forall }\mathrm{\Delta }\subset D:\overline{\mathrm{Int}}\mathrm{\Delta }\subset D\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=0$, значит, для любого спрямляемого контура $\gamma \underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0$ (так же, как и в третьем пункте доказательства теоремы Коши)

$\mathrm{\forall }u\subset D,u$ круг, $a$ центр $u$

$F(z)={\int }_a^{z}f(\xi )d\xi$ интеграл по любой спрямляемой кривой с началом в $a$ и с концом в $z$, и эта кривая лежит в $u$. Точно так же, как в теореме о существовании первообразной в односвязной области, доказываем, что $F^{\prime }(z)=f(z)\mathrm{\forall }z\in u$ (там нужна только непрерывность $f(z)$, значит, $F\in O(D)$, значит, по теореме о бесконечной дифференцируемости голоморфных функций, $f\in O(u)$, значит, $f\in O(D)$.

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)