Линейные операторы и функционалы

Линейные операторы

Пусть $X$ и $Y$ - линейные вещественные (комплексные) пространства. Шаблон:Определение

Операции над линейными операторами

Пусть линейный оператор $A,B:X\to Y$

$\begin{array}{c}c=a+b,c(x)=A(x)+B(x)\\ c=\alpha A,c(x)=\alpha A(x)\end{array}\}\Rightarrow$ множество линейных операторов действующих из $X$ в $Y$ является линейным пространством.

Пусть $A:X\to Y,B:Y\to Z$

$C=BA,C:X\to Z$; $C(x)=B(A(x))$

Линейные операторы в нормированных пространствах

Пусть $X$ и $Y$ - нормированные пространства. Шаблон:Определение Свойства:

• Если $A$ - линейный оператор и $A$ - непрерывен в точке $x_0\in X$, то $A$ - непрерывен в $\mathrm{\forall }x\in X$

Шаблон:Доказательство

• Оператор $A$ - непрерывен (то есть непрерывен во всех точках $x\in X$) $\iff$ $A$ непрерывен в нуле.