Степенные ряды

Степенные ряды

Функциональный ряд вида $c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0{)}^2+\dots +c_n(x-x_0{)}^n+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-x_0{)}^n$ (где $x_0$ и $c_0,c_1,\dots ,c_n,\dots$ - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке $x=x_0$ всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость $\mathrm{\forall }x$. С помощью замены $t=x-x_0$ данный степенной ряд можно привести к виду $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{t}^n$ - сходится при $t=0$.

Формула Коши-Адамара:

$R=1/(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[n]{|c_n|})$, где получаем $R=0$ при $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[n]{|c_n|}=\mathrm{\infty }$ и $R=\mathrm{\infty }$ при $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[n]{|c_n|}=0$

Ряды Тейлора

Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производные любого порядка, составим формальный ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$. Этот ряд называется рядом Тейлора функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$. Если $x_0=0$ то ряд Тейлора называется рядом Макларена.