Определённый интеграл

Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

Пусть $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$. Делим отрезок $[a,b]$ на $n$ частей с помощью точек $x_1,\dots ,x_{n-1}$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$. Множество точек $\tau =\{x_i{\}}_{i=0}^n$ называется разбиением отрезка $[a,b]$. Обозначим $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ - длина отрезка $[x_{i-1},x_i]$. Обозначим $\lambda =\max i=\overline{1,n}\mathrm{\Delta }{x}_i$ - параметр разбиения $\tau$.

На каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ выберем произвольно точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$.

Составим интегральную сумму для функции $f$, соответствующую разбиению $\tau :{\sigma }_{\tau }(f)=\sum f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ Шаблон:Определение

Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Пусть $f(x)$ определен на $[a,b]$ рассмотрим $\mathrm{\forall }$ разбиение $\tau =\{x_i{\}}_{i=0}^n$ отрезка $[a,b]$. Обозначим: $M_i=\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x)$, $m_i=\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x),i=\overline{1,n}$

$s_{\tau }=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ - нижняя сумма Дарбу для $f(x)$ на $[a,b]$. $S_{\tau }=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ - верхняя сумма Дарбу.

Свойства интегрируемых функций

1. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=b-a$
2. $f(x),g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $[f(x)+g(x)]$ - интегрируемы на $[a,b]$ и справедливо: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
3. $f(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $(k\cdot f(x))$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf(x)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
4. $f(x)$ - интегрируема на $[a,c]$ и $[c,b]$, тогда $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
5. $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, $f(x)\le g(x),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ тогда: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
6. $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $|f(x)|$ - интегрируема на $[a,b]$ и: $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $f$ интегрируема на $\mathrm{\forall }[a,x]\subset [a,b]$. Обозначим $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$, $x\in [a,b]$. Функция $F(x)$ называется интегралом с переменным верхним пределом.