Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор

Линейные операторы.

Оператор $A:X\to Y$ называется линейным, если:

1. $A(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=A(\overrightarrow{x})+A(\overrightarrow{y});$
2. $A(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda A(\overrightarrow{x}).$

$\mathrm{\Theta }:\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}:\mathrm{\Theta }\overrightarrow{x}={\overrightarrow{0}}_y$ - нулевой оператор.

$I:X\to X;\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}:I\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ -тождественный оператор.

$(A_1+A_2)\overrightarrow{x}\stackrel{def}{=}{A}_1\overrightarrow{x}+A_2\overrightarrow{x}$ - сумма двух операторов.

$A^2\overrightarrow{x}\stackrel{def}{=}A(A(\overrightarrow{x}));A^k\overrightarrow{x}=A(A^{k-1}(\overrightarrow{x}))$ - степень оператора.

$A:X\to Y,B:Y\to Z;(AB)\overrightarrow{x}\stackrel{def}{=}B(A\overrightarrow{x})$ - умножение операторов.

Матрица линейного оператора.

$A:X\to Y,dim(X)=m,dim(Y)=n.$

Возьмём базис ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_m$ в X,\, ${\overrightarrow{f}}_1,\dots ,{\overrightarrow{f}}_n$ базис в Y.

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

$A({\overrightarrow{e}}_i)={\overrightarrow{h}}_i\in Y,i=1\dots m.$

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in X:\overrightarrow{x}=\sum _{j=1}^m{x}_j{\overrightarrow{e}}_j\Rightarrow A(\overrightarrow{x})=A(\sum _{j=1}^m{x}_j{\overrightarrow{e}}_j)=\sum _{j=1}^m{x}_{j}A({\overrightarrow{e}}_j)=\sum _{j=1}^m{x}_j{\overrightarrow{h}}_j.$

Матрица оператора $A_{ef}=||a_{ij}|{|}_{n\times m}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right)$

$A{\overrightarrow{e}}_1=a_{11}{\overrightarrow{f}}_1+\dots +a_{n1}{\overrightarrow{f}}_n$

$\dots$

$A{\overrightarrow{e}}_m=a_{1m}{\overrightarrow{f}}_1+\dots +a_{nm}{\overrightarrow{f}}_n$

Обратный оператор

$A:L\to M$

Если А - изоморфизм, то: $\overrightarrow{y}\to \overrightarrow{x},\mathrm{\forall }\overrightarrow{y}\in M\mathrm{\exists }!\overrightarrow{x}:A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}\Rightarrow$ возникает некоторое отображение $A^{-1}:A^{-1}(\overrightarrow{y})=\overrightarrow{x}.$

Покажем, что $A^{-1}$ линейный оператор:

1) $A^{-1}(\overrightarrow{y})\to \overrightarrow{x};A^{-1}({\overrightarrow{y}}_1)\to {\overrightarrow{x}}_1$

$A^{-1}(\overrightarrow{y}+{\overrightarrow{y}}_1)=\overrightarrow{x}+{\overrightarrow{x}}_1=A^{-1}(\overrightarrow{y})+A^{-1}({\overrightarrow{y}}_1),(\text{т.к.}A(\overrightarrow{x}+{\overrightarrow{x}}_1)=A(\overrightarrow{x})+A({\overrightarrow{x}}_1)=\overrightarrow{y}+{\overrightarrow{y}}_1).$

2) $A^{-1}(\lambda \overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}=\lambda A^{-1}(\overrightarrow{y}),(\text{т.к.}A(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda A(\overrightarrow{x})=\lambda \overrightarrow{y}).$

Условие обратимости: $A:L\to M$ - оператор обратим $\iff$ оператор А осуществляет изоморфизм.

Матрица обратного оператора

$A:L\to M$ осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор $A$ между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число $c$ такое, что $||Ax||\ge c||x||$ для всех векторов $x$) $(n=m)$ тогда $\mathrm{\exists }{A}^{-1}:M\to L$.

Возьмём${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ - базис в L, ${\overrightarrow{f}}_1,\dots ,{\overrightarrow{f}}_n$- базис в M, тогда:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{\overrightarrow{e}}_i;\mathrm{\forall }\overrightarrow{y}=A(\overrightarrow{x})=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{y}_i{\overrightarrow{f}}_i$

$Y=A_{ef}X\iff A_{ef}^{-1}Y=A_{ef}^{-1}{A}_{ef}X\iff A_{ef}^{-1}Y=X\Rightarrow$ матрица $A_{ef}^{-1}$ осуществляет действие оператора $A^{-1}\Rightarrow A_{ef}^{-1}$ - матрица обратного оператора.