Линейные пространства. Базис

Линейные пространства

Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются $\vec{a}, \vec{b}, \dots$ , в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам:

$1. \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a};$

$2. (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c});$

$3. \exists \vec{0} : \forall \vec{a}, \vec{a} + \vec{0} = \vec{a};$

$4. \forall \vec{a} \exists (- \vec{a}) : \vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0};$

$5. α (β \vec{a}) = (α β) \vec{a};$

$6. 1 \vec{a} = \vec{a};$

$7. α (\vec{a} + \vec{b}) = α \vec{a} + α \vec{b};$

$8. (α + β) \vec{a} = α \vec{a} + β \vec{a} .$

Базис

Шаблон:Определение

Шаблон:МатТеорема Шаблон:Доказательство Шаблон:Следствие

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Линейное пространство L, dim(L) = n > 0, ${\vec{e}}_{1}, \dots, {\vec{e}}_{n}$ - базис в L. $\Rightarrow \forall \vec{x} \in L \exists! x_{1}, \dots, x_{n} \in R^{1} (C^{1}) : \vec{x} = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} {\vec{e}}_{j} . \vec{X} = (\begin{matrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{n} \end{matrix}) .$ возьмём новый базис в L : ${\vec{f}}_{1}, \dots, {\vec{f}}_{n} \Rightarrow {\vec{f}}_{1} = \sum_{j = 1}^{n} t_{j 1} {\vec{e}}_{j}, \dots, {\vec{f}}_{n} = \sum_{j = 1}^{n} t_{j n} {\vec{e}}_{j} .$

$T = ‖ t_{i, j} ‖ = (\begin{matrix} t_{11} & t_{12} & \dots & t_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ t_{n 1} & t_{n 2} & \dots & t_{n n} \end{matrix})$ - матрица перехода от базиса ${\vec{e}}_{1}, \dots, {\vec{e}}_{n}$ к базису ${\vec{f}}_{1}, \dots, {\vec{f}}_{n}$

$\vec{x} = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} {\vec{e}}_{j} = \sum_{j = 1}^{n} x'_{j} {\vec{f}}_{j} = \sum_{i = 1}^{n} x'_{i} (\sum_{j = 1}^{n} t_{i j} {\vec{e}}_{j}); x_{j} = \sum_{i = 1}^{n} t_{j i} x'_{i}$

$\vec{X} = (\begin{matrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{n} \end{matrix}), {\vec{X}}^{'} = (\begin{matrix} x'_{1} \\ \dots \\ x'_{n} \end{matrix}) .$

$\vec{X} = T {\vec{X}}^{'}, {\vec{X}}^{'} = T^{- 1} \vec{X}$

Линейные пространства. Базис