Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений

Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.

Однородная СЛАУ:

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\dots +a_{1,r}{x}_r+a_{1,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{1,n}{x}_n=0\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\dots +a_{2,r}{x}_r+a_{2,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{2,n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\dots +a_{n,r}{x}_r+a_{n,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{n,n}{x}_n=0\end{array}$

$x_1,x_2\dots x_r$ - базисные неизвестные. $x_{r+1},x_{r+2}\dots x_n$ - свободные неизвестные (если $r_A<n$)

Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\dots +a_{1,r}{x}_r=-a_{1,r+1}{x}_{r+1}-\dots -a_{1,n}{x}_n\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\dots +a_{2,r}{x}_r=-a_{2,r+1}{x}_{r+1}-\dots +a_{2,n}{x}_n\\ \dots \\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\dots +a_{n,r}{x}_r=-a_{n,r+1}{x}_{r+1}-\dots +a_{n,n}{x}_n\end{array}$

$x_1,x_2\dots x_r$ - найдутся однозначно. $x_{r+1},x_{r+2}\dots x_n$ - можно задать любыми. $r_A=n\Rightarrow$ только тривиальное решение.

Cвойства решений однородных СЛАУ.

• Если Х - решение матричного уравнения $AX=\mathrm{\Theta }$, то $\mathrm{\forall }\lambda \in R^1,$

$\lambda X=\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\ \dots \\ \lambda x_n\end{array}\right)$ снова будет решением.

• $X_1$ и $X_2$ - решения, то $(X_1+X_2)$ - тоже будет решением.
• Если $X_1\dots X_k$ - решение системы, то для $\mathrm{\forall }$ чисел ${\lambda }_1\dots {\lambda }_k\in R^1$, $z=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i$ - будет решением системы.

Формула общего решения неоднородных СЛАУ

Неоднородная СЛАУ:

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\dots +a_{1,r}{x}_r+a_{1,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{1,n}{x}_n=b_1\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\dots +a_{2,r}{x}_r+a_{2,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{2,n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\dots +a_{n,r}{x}_r+a_{n,r+1}{x}_{r+1}+\dots +a_{n,n}{x}_n=b_n\end{array}$