Векторное произведение

Векторное произведение

Определение

Векторным произведением двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ называется вектор $𝐜=𝐚\times 𝐛$, удовлетворяющий следующим условиям:

• $|𝐜|=|𝐚||𝐛|\sin (\widehat{𝐚,𝐛})$;
• вектор $𝐜$ перпендикулярен векторам $𝐚$ и $𝐛$;
• тройка $(𝐚,𝐛,𝐜)$ положительно ориентирована (т.е. является правой).

Свойства векторного произведения

Площадь параллелограмма равна векторному произведению

• Векторы $𝐚$ и $𝐛$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $𝐚\times 𝐛=\mathrm{𝟎}$.

  Из определения следует, что равенство нулю векторного произведения эквивалентно либо равенству нулю одного из сомножителей (а нулевой вектор коллинеарен всем остальным), либо равенству нулю синуса угла между векторами.

  Поскольку любой вектор коллинеарен самому себе, то $𝐚\times 𝐚=\mathrm{𝟎}$.

• Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

  Следует из определения.

  Пусть $𝐞$ — единичный вектор, перпендикулярный векторам $𝐚$ и $𝐛$ и выбранный так, что тройка $(𝐚,𝐛,𝐞)$ положительно ориентированна, $S_{\mathrm{\Pi }(𝐚,𝐛)}$ — площадь параллелограмма, построенного на векторах $𝐚$ и $𝐛$. Тогда $𝐚\times 𝐛=S_{\mathrm{\Pi }(𝐚,𝐛)}𝐞$.

• Антикоммутативность: $𝐚\times 𝐛=-𝐛\times 𝐚$.
• Ассоциативность относительно умножения на скаляр: $(k𝐚)\times 𝐛=k(𝐚\times 𝐛)=𝐚\times (k𝐛)$.
• Дистрибутивность по сложению: $({𝐚}_1+{𝐚}_2)\times 𝐛={𝐚}_1\times 𝐛+{𝐚}_2\times 𝐛$.
• Тождество Якоби: $(𝐚\times 𝐛)\times 𝐜+(𝐛\times 𝐜)\times 𝐚+(𝐜\times 𝐚)\times 𝐛=\mathrm{𝟎}$.
• Тождество Лагранжа: $𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$. Для запоминания используют мнемоническое правило «БАЦ минус ЦАБ»

Векторное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты двух векторов $𝐚=\{a_1,a_2,a_3\}$ и $𝐛=\{b_1,b_2,b_3\}$ в ортонормированной системе координат. Шаблон:Формула Таким образом, координаты векторного произведения в ортонормированной системе координат $𝐚\times 𝐛=\{\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\}$.

Модуль векторного произведения (и площадь параллелограмма) $|𝐚\times 𝐛|=S=\sqrt{{\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|}^2}$