Скалярное произведение векторов/Задачи/Векторное произведение векторов (практика)

Ортогональный базис

• Ортогональный базис - базис $e_1,e_2,...e_n$ евклидова пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, если кроме того, все векторы базиса имеют единичную длину (нормализованы), то базис называется ортонормированным.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов - если два вектора $𝐚$ и $𝐛$ представлены в ортонормированном базисе, то их векторное произведение имеет вид

$[𝐚,𝐛]=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$

Векторное произведение двух векторов позволяет найти ось перпендикулярную плоскости, образуемой этими двумя векторами. Нахождение этой оси необходимо при осуществлении поворота одного из этих векторов, так как нужно знать по отношению к какой оси будет осуществляться поворот.

Пример для 3-х мерного пространства

• Даны вектора $\overrightarrow{A}(2,2,2)$ и $\overrightarrow{B}(0.5,0.8,1.3)$
• Тогда их векторное произведение:

$[\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}]=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)=(2\cdot 1.3-2\cdot 0.8,2\cdot 0.5-2\cdot 1.3,2\cdot 0.8-2\cdot 0.5)=(1,-1.6,0.6)$

Калькуляторы on-line

• Нахождение векторного произведения векторов