RNAInSpace/Сферическое кратчайшее расстояние

Задача

Есть координаты двух точек в пространстве. Нужна функция, которая возвращает "расстояние", которое по поверхности сферы более короткое, чем при отклонении от поверхности сферы.

Расстояние между двумя точками на сфере - известно как считать, но вопрос в том, как сделать так, чтобы:

1. его преобразовать через функцию так, чтобы оно было меньше, чем по прямой
2. а точнее ПОСТЕПЕННО увеличивалось бы, если отклоняется от траектории по поверхности сферы

Ответ

Расстояние между точками (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) с нужными свойствами выглядит так: <poem>

r1=sqrt(x1*x1+y1*y1+z1*z1);
r2=sqrt(x2*x2+y2*y2+z2*z2);
a=acos((x1*x2+y1*y2+z1*z2)/r1/r2);
b=ln(r1/r2);
return sqrt(a*a+b*b);

</poem>

То есть, мы вычисляем центральный угол между точками, логарифм отношения их расстояний до центра и возвращаем корень из суммы их квадратов. Для точек на сфере «расстояние» будет равно центральному углу между ними, а если мы от сферы отойдём, то расстояние увеличится.

Расстояние между двумя точками на сфере

• • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

    $\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

  • Обратно, от декартовых к сферическим:

    $\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta =\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right),\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{y}{x}\right).\end{array}$

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L=R\cdot \arccos (\cos {\theta }_1\cdot \cos {\theta }_2\cdot \cos ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+\sin {\theta }_1\cdot \sin {\theta }_2).$

См. также

• Сферическая система координат