Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения

Уравнения гиперболического типа в общем виде: $a(x,y)\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y}+c(x,y)\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\mathrm{\Phi }=0$

Обозначим $d=b^2-ac$. Тогда при замене $\xi =\xi (x,y)\in C^2;\eta =\eta (x,y)\in C^2$ получим $a(\frac{\partial \xi }{\partial x}{)}^2+2b(\frac{\partial \xi }{\partial x}\frac{\partial \xi }{\partial y})+c(\frac{\partial \xi }{\partial y}{)}^2=0$. Аналогично для $\eta$. Если $d>0$ - то уравнение имеет гиперболический вид. Канонический вид для гиперболических уравнений $\frac{{\partial }^2\tilde{U}}{\partial \xi \partial \eta }+\tilde{\mathrm{\Phi }}=0$

Рассмотрим на примере волнового уравнения $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial U^2}{\partial x^2}$. Тогда начальная краевая задача Коши для уравнения гиперболического типа имеет вид:

$\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial U^2}{\partial x^2};0<x<l,a>0,a=const;\\ U(x,0)=\varphi (x);\frac{\partial U}{\partial t}=\psi (x);\\ U(0,t)=0,U(l,t)=0.\end{array}$

Смешаная задача для уравнения колебания струны. Решение методом разделения переменных.

пусть $\varphi (x),\psi (x)$ - достаточно гладкие. Замена: $U=X(x)T(x)$. Уравнение колебания струны примет вид $X(x)T^{″}(t)=a^2{X}^{″}(x)T(t)$ . Преобразуем его к виду $\frac{T^{″}(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=-\lambda$

$\{\begin{array}{c}{X}^{″}(x)+\lambda X(x)=0;\\ X(0)=0,X(l)=0.\end{array}$

Получаем задачу Штурма-Лиувилля $X_n(x)=\sin \frac{\pi n}{l}x,n=1,2,\dots$

$T^{″}(t)+a^2\lambda T(t)=0$

${T_n}^{″}(t)+a^2{\lambda }_n{T}_n(t)=0$

$T_n(t)=A_n\cos \frac{\pi n}{l}at+B_n\sin \frac{\pi n}{l}at$

Суперпозиция таких решения имеет вид

$U(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos \frac{\pi n}{l}at+B_n\sin \frac{\pi n}{l}at)\sin \frac{\pi n}{l}x$

$t=0:\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin \frac{\pi n}{l}x$

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\pi na}{l}(-A_n\sin \frac{\pi n}{l}at+B_n\cos \frac{\pi n}{l}at)\sin \frac{\pi n}{l}x$

$t=0:\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\pi na}{l}{B}_n\sin \frac{\pi n}{l}x$

Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то ряд Фурье этой функции сходится к ней самой. Нечетно продолжаем функцию $(0,l)\to (-l,l)$

${\varphi }_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\varphi (\xi )\sin \frac{\pi n}{l}\xi d\xi ,A_n={\varphi }_n$

${\psi }_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\psi (\xi )\cos \frac{\pi n}{l}\xi d\xi ,B_n=\frac{1}{\pi na}{\varphi }_n$

Обоснование. Докажем, что ряд сходится равномерно (по признаку Вейерштрасса). Мажорирующий ряд: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|A_n|+|B_n|)$. Проверим сходимость ряда из производных. Их мажорирующие ряды: $\frac{\pi a}{l}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(|A_n|+|B_n|)$ и $c_i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2(|A_n|+|B_n|)$.

Условие: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^k|{\varphi }_n|$ сходится при $k=0,1,2$ и $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^k|{\psi }_n|$ сходится при $k=-1,0,1$

Теорема из рядов Фурье: Если функция $f(x)$ с периодом $2l$ имеет $k$ непрерывных производных, а $(k+1)$-ая производная кусочно-непрерывна, тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^k(|a_n|+|b_n|)$ сходится ($a_n,b_n)$ - коэффициенты при $\sin$ и $\cos$).

Наложим на $\varphi$ и $\psi$ следующие условия:

1) $\varphi (x)$ дважды непрерывно дифференцируема на $(0,l)$, а третья производная кусочно-непрерывна на $(0,l):\varphi (0)=\varphi (l)=0,{\varphi }^{″}(0)={\varphi }^{″}(l)=0$ - условия для нечетного продолжения.

2) $\psi (x)$ непрерывно дифференцируема на $(0,l)$ (один раз), а вторая производная кусочно-непрерывна на $(0,l):\psi (0)=\psi (l)=0$

Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения. Решение методом разделения переменных.

$\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial U^2}{\partial x^2}+f(x,t);0<x<l,a>0,a=const,t>0;\\ U(x,0)=\varphi (x);\frac{\partial U}{\partial t}=\psi (x),0\le x\le l;\\ U(0,t)=0,U(l,t)=0,t\ge 0.\end{array}$

Разложим $f,\varphi ,\psi$ в ряды Фурье по синусам.

$f(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(t)\sin \frac{\pi n}{l}x$;

$\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_n\sin \frac{\pi n}{l}x$;

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_n\sin \frac{\pi n}{l}x$;

$f_n(t)=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(\xi ,t)\sin (\frac{\pi n}{l}\xi )d\xi$;${\varphi }_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\varphi (\xi )\sin (\frac{\pi n}{l}\xi )d\xi$;

${\psi }_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\psi (\xi )\sin (\frac{\pi n}{l}\xi )d\xi$;

$U(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(t)\sin \frac{\pi n}{l}x$;

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{d^2{U}_n(t)}{d{t}^2}-(\frac{\pi n}{l}{)}^2{a}^2{U}_n+f_n(t))\sin \frac{\pi n}{l}x=0$; $\frac{d^2{U}_n(t)}{d{t}^2}+(\frac{\pi n}{l}{)}^2{a}^2{U}_n=f_n(t)$

$U(x,0)=\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(0)\sin \frac{\pi n}{l}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_n\sin \frac{\pi n}{l}\Rightarrow U_n(0)={\varphi }_n$

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d{U}_n}{dt}(0)\sin \frac{\pi n}{l}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_n\sin \frac{\pi n}{l}\Rightarrow \frac{d{U}_n}{st}(0)={\psi }_n$

Решение: $U_N(t)=U_n^{(1)}(t)+U_n^{(2)}(t)$,

где $U_n^{(1)}(t)=\frac{l}{\pi na}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \frac{\pi na}{l}(t-\tau )f_n(\tau )d\tau$,

$U_n^{(2)}(t)={\varphi }_n\cos \frac{\pi na}{l}t+\frac{l}{\pi na}{\psi }_n\sin \frac{\pi na}{l}t$

$\frac{d{U}_n^{(1)}}{dt}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\cos \frac{\pi na}{l}(t-\tau )f_n(\tau )d\tau$,

$\frac{d^2{U}_n^{(1)}}{d{t}^2}=f_n(t)-\frac{\pi na}{l}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \frac{\pi na}{l}(t-\tau )f_n(\tau )d\tau =f_n(t)-(\frac{\pi na}{l}{)}^2{U}_n^{(1)}$,

$U(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{l}{\pi na}[\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \frac{\pi na}{l}(t-\tau )f_n(\tau )d\tau ]\sin \frac{\pi n}{l}x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[{\varphi }_n\cos \frac{\pi na}{l}t+\frac{l}{\pi na}{\psi }_n\sin \frac{\pi na}{l}]\sin \frac{\pi n}{l}x=U^{(1)}(x,t)+U^{(2)}(x,t)$

$U^{(1)}$ - вынужденные колебания под действием силы $f$ при нулевых начальных условиях. $U^{(2)}$ - свободные колебания при $\varphi$ и $\psi$.

$U^{(1)}(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{l}{\pi na}\sin \frac{\pi na}{l}(t-\tau )\sin (\frac{\pi n}{l}x)\sin (\frac{\pi n}{l}\xi )f(\xi ,\tau )d\xi d\tau =\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}G(x,\xi ,t-\tau )f(\xi ,\tau )d\xi d\tau$

$G(x,\xi ,t-\tau )=\frac{2}{\pi a}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sin \frac{\pi na}{l}(t-\tau )\sin (\frac{\pi n}{l}x)\sin (\frac{\pi n}{l}\xi )$

С ненулевыми условиями:

$\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial U^2}{\partial x^2}+f(x,t);0<x<l,a>0,a=const,t>0;\\ U(x,0)=\varphi (x);\frac{\partial U}{\partial t}=\psi (x),0\le x\le l;\\ U(0,t)={\mu }_1,U(l,t)={\mu }_2,t\ge 0.\end{array}$

$V(x,t)=U(x,t)-\omega (x,t);\omega (x,t)={\mu }_1(t)+\frac{x}{l}({\mu }_2(t)-{\mu }_1(t))$