Линейные пространства. Базис

Линейные пространства

Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\dots$, в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам:

$\mathbf{\text{1.}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a};$

$\mathbf{\text{2.}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c});$

$\mathbf{\text{3.}}\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}:\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a};$

$\mathbf{\text{4.}}\mathrm{\forall }\overrightarrow{a}\mathrm{\exists }(-\overrightarrow{a}):\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0};$

$\mathbf{\text{5.}}\alpha (\beta \overrightarrow{a})=(\alpha \beta )\overrightarrow{a};$

$\mathbf{\text{6.}}1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};$

$\mathbf{\text{7.}}\alpha (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\alpha \overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b};$

$\mathbf{\text{8.}}(\alpha +\beta )\overrightarrow{a}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{a}.$

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Линейное пространство L, dim(L) = n > 0, ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ - базис в L. $\Rightarrow \mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in L\mathrm{\exists }!x_1,\dots ,x_n\in R^1(C^1):\overrightarrow{x}=\sum _{j=1}^n{x}_j{\overrightarrow{e}}_j.\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right).$ возьмём новый базис в L : ${\overrightarrow{f}}_1,\dots ,{\overrightarrow{f}}_n\Rightarrow {\overrightarrow{f}}_1=\sum _{j=1}^n{t}_{j1}{\overrightarrow{e}}_j,\dots ,{\overrightarrow{f}}_n=\sum _{j=1}^n{t}_{jn}{\overrightarrow{e}}_j.$

$T=\Vert t_{i,j}\Vert =\left(\begin{array}{cccc}{t}_{11}& t_{12}& \dots & t_{1n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ t_{n1}& t_{n2}& \dots & t_{nn}\end{array}\right)$ - матрица перехода от базиса ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ к базису ${\overrightarrow{f}}_1,\dots ,{\overrightarrow{f}}_n$

$\overrightarrow{x}=\sum _{j=1}^n{x}_j{\overrightarrow{e}}_j=\sum _{j=1}^{n}x{\text{'}}_j{\overrightarrow{f}}_j=\sum _{i=1}^{n}x{\text{'}}_i(\sum _{j=1}^n{t}_{ij}{\overrightarrow{e}}_j);x_j=\sum _{i=1}^n{t}_{ji}x{\text{'}}_i$

$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right),{\overrightarrow{X}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}x{\text{'}}_1\\ \dots \\ x{\text{'}}_n\end{array}\right).$

$\overrightarrow{X}=T{\overrightarrow{X}}^{\prime },{\overrightarrow{X}}^{\prime }=T^{-1}\overrightarrow{X}$