Просмотр кода страницы Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

{{Определение|Пусть функция <math>f( x_1 \dots x_n)</math> определена на множестве <math>E \in \R^n</math> и точка <math>x^o \in E</math>. Точка <math>x^o</math> называется точкой локального минимума (максимума) функции <math>f( x_1 \dots x_n)</math> если <math>\exists  U(x^o): \forall  x \in U(x^o) \cap E :  f(x) \ge f(x^o) (f(x) \le f(x^o)))</math>. Точки локального минимума (максимума) называются точками локального экстремума.
}}

{{МатТеорема|Пусть функция <math>f( x_1 \dots x_n)</math> определена в <math>U (x^o )</math> и имеет локальный экстремум в точке <math>x^o</math>. Если <math>\exists \frac{\partial\!f}{\partial\!x_k}(x^o),  1 \le k \le n</math>,
то <math>\frac{\partial\!f}{\partial\!x_k}(x^o)=0  \forall k = 1 \dots n</math>.
|(необходимое условие экстремума)}}

{{Доказательство|Докажем это для случая <math>k=1: \exists \frac{\partial\!f}{\partial\!x_1}(x^o)</math>. Рассмотрим функцию <math>f(x_1 , x_2^o \dots x_n^o)</math> - функцию одной переменной <math>x_1</math>. Так как функция <math>f (x_1 \dots x_n)</math> имеет локальный экстремум в точке <math>x^o = ( x_1^o \dots x_n^o)</math>, то функция одной переменной также имеет локальный экстремум в точке <math>x_1^o</math>.

Так как <math>\exists \frac{\partial\!f}{\partial\!x_1}(x^o)</math>, то эта производная является обычной производной функции одной переменной <math>f (x_1^o , x_2^o \dots x_n^o)</math> в точке <math>x_1^o</math>. Тогда используя необходимое условие локального экстремума для функции одной перменной получаем <math>\frac{\partial\!f}{\partial\!x_1}(x^o)=0</math>. Аналогично: Если <math>\exists \frac{\partial\!f}{\partial\!x_k}(x^o),  2 \le k \le n</math> получаем <math>\frac{\partial\!f}{\partial\!x_k}(x^o)=0</math>.
}}
{{Следствие|Если функция <math>f(x_1 \dots x_n)</math> определена в <math>U(x^o)</math> и имеет в точке <math>x^o</math> локальный экстремум и дифференцируема в точке <math>x^o</math>, то <math>df (x^o)=0</math>
}}
{{МатТеорема|Пусть функция <math>f(x_1 \dots x_n)</math> определена в <math>U_{\sigma}(x^o)</math> и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть <math>df(x^o)=0</math>. Если <math>d^2f(x^o)</math> является знакоопределенной квадратичной формой, тогда <math>x^o</math> - точка локального экстремума, причем если <math>d^2f(x^o) > 0 \Rightarrow x^0</math> - локальный минимум, а если <math>d^2f(x^o)<0 \Rightarrow x^o</math> - локальный максимум.
|(достаточное условие локального экстремума)}}

{{Доказательство|Рассмотрим <math>\forall (x_1^o + \Delta x_1 \dots x_n^o + \Delta x_n) \in U_{\sigma} (x^o)</math>. Так как функция <math>f</math> имеет непрерывные частные производные до второго порядка в <math>U_{\sigma} (x^o)</math>, то функцию <math>f</math> можно разложить по формуле Тейлора в точке <math>x^o</math> до первого порядка
<math>f(x_1^o + \Delta x_1 \dots x_n^o + \Delta x_n) - f( x^o) = \frac{df(x^o)}{1!} + \frac{d^2 f (x^o + \theta \Delta x)}{2!}</math>, где
<math>x^o + \theta \Delta x = (x_1^o + \theta_1 \Delta x_1 \dots x_n^o + \theta_n \Delta x_n),  |\theta_i|<1 ,  i = 1\dots n</math>
<math>\Rightarrow \Delta f( x^o) = \frac{1}{2} d^2 f (x^o + \theta \Delta x) = \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j}^n (\frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}(x^o + \theta \Delta x) \Delta x_i \Delta x_j)</math>. 

Так как <math>\frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}</math> - непрерывна в <math>U_{\sigma} (x^o) \Rightarrow</math> непрерывна в точке <math>x^o \Rightarrow  (k = 1 \dots n)  \exists \lim\limits_{\Delta x_k \to 0} \frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}(x^o + \theta \Delta x) = \frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j} (x^o) ,  i, j = 1 \dots n \Rightarrow \frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}(x^o + \theta \Delta x) = \frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j} (x^o) + \alpha_{i,j}( \Delta x)</math>, где <math>\alpha_{i,j} (\Delta x)</math> - бесконечно малая функция при
<math>\Delta x \to 0,  i,j,k = 1 \dots n \Rightarrow \Delta f(x^o) =  \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j}^n (\frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}(x^o) \Delta x_i \Delta x_j +  \sum\limits_{i,j}^n \alpha_{i,j} (\Delta x) \Delta x_i \Delta x_j)</math>

Обозначим
<math>\rho = \sqrt{\Delta x_1^2 + \dots + \Delta x_n^2},  \xi_k = \frac{\Delta x_k}{\rho},  k = 1 \dots n,</math>

<math>\sum\limits_{i,j}^n \frac{\partial^2\!f}{\partial\!x_i \partial\!x_j}(x^o) \xi_i \xi_j = A( \xi ),  \sum\limits_{i,j}^n \alpha_{i,j} (\Delta x) \xi_i \xi_j = \alpha ( \Delta x) \Rightarrow \Delta f(x^o) =  \frac{\rho^2}{2}(A( \xi) + \alpha (\Delta x) ) </math>

<math>|\alpha (\Delta x)| \le \sum\limits_{i,j}^n |\alpha_{i,j} ( \Delta x)| \rightarrow[\Delta x_k \to 0]{k = 1 \dots n} 0 \Rightarrow \alpha (\Delta x)  </math> - бесконечно малая функция при <math>\Delta x_k \to 0 ,  k = 1 \dots n</math>.

Пусть <math>d^2 f (x^0) >0 \Rightarrow A ( \xi ) > 0 ,  \forall \xi = (\xi_1 \dots \xi_n)</math>, где <math>\xi_k = \frac{\Delta x_k}{\rho}, k = 1\dots n</math>. 

Получаем: <math>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2 = \frac{\Delta x_1^2}{\rho^2} + \dots + \frac{\Delta x_n^2}{\rho^2}=1 \Rightarrow \xi</math> лежит на <math>S</math> - сфере единичного радиуса с центром в начале координат. <math>S</math> - компакт. <math>A( \xi)</math> - непрерывна на компакте <math>S \Rightarrow</math> она достигает на нём своей точной нижней грани <math>\mu</math>.

<math>\xi^* \in S \Rightarrow |\xi^*| \not= 0</math>. В случае если A - положительно определённая квадратичная форма, имеем: <math>\mu > 0</math>

Так как <math>\alpha ( \Delta x) </math> - бесконечно малая при <math>\Delta x_k \to 0 ,  k = 1\dots n \Rightarrow</math> для <math>\varepsilon = \frac{\mu}{2}>0: \exists \delta_1 , \forall \Delta x_k : \sqrt{\Delta x_1^2 + \dots + \Delta x_n^2} < \delta_1 \Rightarrow |\alpha ( \Delta x) | < \frac{\mu}{2} \Rightarrow</math> в <math>U_{\delta_1} (x^o) : \Delta f ( x^o) = \frac{\rho^2}{2} ( A ( \xi) + \alpha ( \Delta x) )\ge \frac{\rho^2}{2}(A ( \xi) + |\alpha( \Delta x))| \ge \frac{\rho^2}{2}(\mu - \frac{\mu}{2})= \frac{\rho^2}{4}\mu >0 \Rightarrow \Delta f (x^o) >0 \Rightarrow x^o</math> точка локального минимума. Аналогично доказывается что если <math>d^2 f (x^o) < 0</math>, то <math>x^o</math> - точка локального максимума.
Доказательство в случае, если <math>A</math> - отрицательно определённая квадратичная форма, можно провести аналогично.

Рассмотрим отдельно третий возможный случай, когда <math>A</math> - знакопеременная квадратичная форма. В рассматриваемом ограничении окрестности точки <math>x^0</math> на единичную сферу, квадратичная форма A имеет точную нижнюю грань <math>\mu</math> и точную верхнюю грань <math>M</math>, такие, что <math>\mu < 0 < M</math>. Взяв соотвествующие точки <math>\xi_\mu, \xi_M</math>, такие что <math>\mu = A(\xi_\mu), M = A(\xi_M)</math>, получим:
<math>\Delta f ( x^o) = \frac{\rho^2}{2} ( A ( \xi_\mu) + \alpha ( \Delta x) ) = \frac{\rho^2}{2} ( \mu + \alpha ( \Delta x) )</math>, и в то же время: <math>\Delta f ( x^o) = \frac{\rho^2}{2} ( A ( \xi_M) + \alpha ( \Delta x) ) = \frac{\rho^2}{2} ( M + \alpha ( \Delta x) )</math>. Отсюда видно что правая часть уравнений меняет знак, значит в точке <math>x^0</math> экстремума нет.
}}

[[Категория:Функции многих переменных]]
[[Категория:Функциональный анализ]]