Просмотр кода страницы Предел последовательности/Сходимость и огранниченность. Предельный переход в неравенстве

{{МатТеорема|Если <math>\{a_n\}</math> сходится, то она ограничена.
|об ограниченности сходящейся последовательности}}
{{Доказательство|<math>\{a_n\}</math> сходящаяся <math>\Rightarrow  \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N(\varepsilon) :  |a_n - a| < \varepsilon , \forall n>N.</math>

Возьмём <math>\varepsilon =1 \Rightarrow \forall n > N(1):  a-1<a_n<a+1.</math>

Обозначим <math>M=\max\{a_1,a_2,\dots,a_{N},a+1\} \Rightarrow \forall n \quad a_n \leqslant M</math>

<math>m=\min\{a_1,a_2,\dots,a_{N},a-1\} \Rightarrow \forall n \quad a_n \geqslant m</math>

Отсюда для обоих случаев <math>\forall n : m\leqslant a_n \leqslant M.</math> 
}}
{{Замечание|обратное не верно, то есть из ограниченности не следует сходимость}}
{{МатТеорема|Пусть <math>\underset{n \to \infty}{\lim}a_n = a, \underset{n \to \infty}{\lim}b_n = b.</math>\\ <math>\forall n > N_0 : a_n \leqslant b_n.</math>тогда<math>a\leqslant b</math>
|о предельном переходе в неравенстве}}
{{Доказательство|(от противного)
Пусть <math>a>b</math>.

<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_1(\varepsilon) :  |a_n - a| < \varepsilon , \forall n>N_1. \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_2(\varepsilon) :  |b_n - b| < \varepsilon , \forall n>N_2.</math>

<math>\varepsilon = \frac{a-b}{2}>0 N=\max \left\{N_0, N_1\left(\frac{a-b}2\right),N_2\left(\frac{a-b}2\right)\right\}  \forall n > N</math>

<math>\left\{ \begin{matrix}
a_n \leqslant b_n & \\
|a_n-a|<&\frac{a-b}2\Rightarrow \frac{a+b}2<a_n<\frac{3a-b}2 \\
|b_n-b|<&\frac{a-b}2\Rightarrow \frac{3b-a}2<b_n<\frac{a+b}2
\end{matrix} \right.</math>

<math>\frac{a+b}2<a_n\leqslant b_n < \frac{a+b}2 \Rightarrow \frac{a+b}2 < \frac{a+b}2 </math> - противоречие.
}}

{{МатТеорема|

Пусть <math>\underset{n \to \infty}{\lim}a_n = a, \underset{n \to \infty}{\lim}c_n = a.</math>

<math>\forall n > N_0 : a_n \leqslant b_n\leqslant c_n.</math>тогда <math>\exists \underset{n \to \infty}{\lim}b_n = a.</math>
|о промежуточной последовательности}}
{{Доказательство|<math>\forall n>N_0: \exists N_1(\varepsilon) :  |a_n - a| < \varepsilon , \forall n>N_1. \exists N_2(\varepsilon) :  |c_n - a| < \varepsilon , \forall n>N_2.</math> 

Возьмём произвольный <math>\varepsilon >0</math>

<math>N=\max \left\{N_0, N_1\left(\varepsilon\right),N_2\left(\varepsilon\right)\right\}</math>,  тогда 

<math>\forall n>N(\varepsilon) : a-\varepsilon<b_n<a+\varepsilon \Rightarrow |b_n-a|<\varepsilon \Rightarrow \underset{n \to \infty}{\lim}b_n = a.</math>
}}

[[Категория:Предел последовательности]]