Просмотр кода страницы Предел последовательности/Понятие сходящейся последовательности

{{Определение|Говорят, что последовательность <math>\{{ x_n \}}</math> является сходящейся, если <math>\exist</math> <math>a</math> : <math>\{{ x_n - a \}}</math> - бесконечно малая последовательность. Число <math>a</math> в этом случае называется пределом последовательности <math>\{{x_n\}}</math>.}}

{{Определение|Число a  называется пределом последовательности <math>\{a_n\} </math>  (пишут <math>a= \underset{n\rightarrow \infty }{\lim}a_n</math>), если <math>\forall \varepsilon > 0  \exists N(\varepsilon) :  |a_n - a| < \varepsilon , \forall n>N.</math>
}}

{{МатТеорема|Если <math>\{a_n\}</math>- сходящаяся, то предел единственный.
|о единственности предела}}
{{Доказательство|Пусть <math>a = \lim a_n, b= \lim a_n, a \not = b.</math> для определённости <math>a<b</math> имеем:

 <math>\forall \varepsilon > 0  \exists N_1(\varepsilon) :  |a_n - a| < \varepsilon , \forall n>N_1.
 \forall \varepsilon > 0  \exists N_2(\varepsilon) :  |a_n - b| < \varepsilon , \forall n>N_2.</math>

<math>\varepsilon = \frac{b-a}{2}>0 N=\max \left\{ N_1\left(\frac{b-a}2\right),N_2\left(\frac{b-a}2\right)\right\}  \forall n > N</math>

<math>|a_n -a| <\frac{b-a}2, \frac{a-b}2<(a_n-a)<\frac{b-a}2, \frac{3a-b}2<a_n<\frac{a+b}2.</math>

<math>|a_n -b| <\frac{b-a}2, \frac{a-b}2<(a_n-b)<\frac{b-a}2, \frac{a+b} 2 < a_n < \frac{3b-a}2</math>.

Получили противоречие <math>\Rightarrow</math> предел единственный.
}}

{{Доказательство|</u></b> Пусть <math>\lim_{n \to \infty}</math> <math>=</math> <math>a</math>  <math>(x_n \to a</math> при <math>n \to \infty)</math>

<math>\{{x_n - a\}}</math> - бесконечно малая последовательность. Положим <math>x_n</math> <math>-</math> <math>a</math> <math>=</math> <math>\alpha_n</math>, <math>x_n</math> <math>=</math> <math>a</math> <math>+</math> <math>\alpha_n</math>, <math>\alpha_n</math> - бесконечно малая последовательность. 

Предположим, что <math>x_n</math> <math>=</math> <math>b</math> <math>+</math> <math>\beta_n</math>, где <math>\beta_n</math>  - бесконечно малая последовательность. 

<math>a</math> <math>+</math> <math>\alpha_n</math> <math>=</math>  <math>b</math> <math>+</math> <math>\beta_n</math> <math>\Rightarrow</math> <math>b</math> <math>-</math> <math>a</math> <math>=</math> <math>\alpha_n</math> <math>-</math> <math>\beta_n</math> <math>\Rightarrow</math> <math>b</math> <math>-</math> <math>a</math> <math>=</math> <math>0</math>, <math>b</math> <math>=</math> <math>a</math>.
}}

{{МатТеорема|Сходящиеся последовательности ограничены.}}
{{Доказательство|Пусть <math>x_n \to a</math> при <math>n \to \infty</math>

<math>x_n</math> <math>=</math>  <math>a</math> <math>+</math> <math>\alpha_n</math>, <math>\alpha_n</math> - бесконечно малая последовательность. 

<math>\mid</math> <math>x_n</math> <math>\mid</math> <math>=</math> <math>\mid</math> <math>a</math> <math>+</math> <math>\alpha_n</math> <math>\mid</math> <math><</math> <math>\mid</math> <math>a</math> <math>\mid</math> <math>+</math> <math>\mid</math> <math>\alpha_n</math> <math>\mid</math> <math><</math> <math>\mid</math> <math>a</math>  <math>\mid</math> <math>+</math> <math>c</math>, где <math>\mid</math> <math>\alpha_n</math> <math>\mid</math> <math>\le</math> <math>c</math>, <math>\forall</math> <math>n</math>.

}}


[[Категория:Предел последовательности]]