Просмотр кода страницы Математика (5 класс)/Что такое математические модели

[[File:Sam Loyd - The 14-15 Puzzle in Puzzleland.jpg|thumb|left|Легенда о игре "пятнашки".]]
Знаменитые "пятнашки" изобрел американец Сэм Ллойд, живший на рубеже XIX-XX в. 
Головоломка быстро завоевала весь мир. Ее популярность была столь велика, что владельцы фирм вывешивали специальные объявления, запрещавшие играть в нее в рабочее время.
Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурмана, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги.<ref>Яков Исидорович Перельман "Живая математика. Математические рассказы и головоломки"</ref>
<gallery>
Файл:15-puzzle-loyd.svg|Рис. 1. В начальном положении   плитки 14 и 15 поменяны местами
Файл:15-puzzle.svg|Рис. 2. Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение.
</gallery>


'''Математическая модель''' (это упрощенное математическое представление ) этой головоломки дает [[w:Теория групп| теория групп]], а точнее '''симметрическая группа''' — группа всех перестановок заданного множества <math>X</math>. 
 
'''Определение'''. Группой называется [[w:множество|множество]] элементов (конечное или бесконечное), на котором задана ассоциативная операция  «''сложения''», которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:

* '''Замкнутость группы относительно операции сложения'''. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их суммой:
: <math> 1) ~~~ \forall A, B \in G : ~~~ \exist C \in G ~~~ A \bigoplus  B = C;</math>

* '''Существование нейтрального элемента'''. В группе существует некоторый элемент ''E'', сумма которого с любым элементом ''A'' группы даёт тот же самый элемент ''A'':
: <math> 2) ~~~ \exists E \in G : ~~~ \forall A \in G \quad A\bigoplus  E = E \bigoplus  A = A; </math>

* '''Существование обратного элемента'''. Для любого элемента ''A'' группы существует такой элемент ''A''<sup>−1</sup>, что их сумма даёт единичный элемент ''E'':
: <math> 3) ~~~ \forall A \in G : ~~~ \exists A^{-1} \in G : ~~~ A\bigoplus  A^{-1} = A^{-1} \bigoplus  A = E. </math>

И если перестановки достижимые из 14-15 рис.2 описываются 
знакопеременной группой перестановок <math> A_n </math> степени ''n'' —  подгруппы [[w:Симметрическая группа|симметрической группы]] <math>S_n</math> степени <math>n</math>, содержащая только чётные перестановки,то в группе достижимые из 15-14 рис.1 количество перестановок нечетное. То есть проблема подобная (1+0+...0=0) прибавляя
к единице нули получить нуль, что недостижимо.

'''Математическая модель''' - это математическое представление какого-либо объекта. Говоря другими словами, это описание объекта с помощью математического языка, исследование его с помощью математических знаний и отображение его свойств с помощью формул. 
В итоге, у нас выйдет модель, с помощью которой можно предсказать поведение объекта.