Просмотр кода страницы Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений

===Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.===
Однородная СЛАУ:

<math>\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1,n}x_n=0 \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{2,n}x_n=0 \\
\dots  \\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{n,n}x_n=0
\end{cases}</math>

<math>x_1,x_2 \dots x_r</math> - базисные неизвестные. <math>x_{r+1},x_{r+2} \dots x_n</math> - свободные неизвестные (если <math>r_A<n</math>)

Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):

<math>\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\dots-a_{1,n}x_n \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\dots+a_{2,n}x_n \\
\dots  \\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r=-a_{n,r+1}x_{r+1}-\dots+a_{n,n}x_n
\end{cases}</math>

<math>x_1,x_2 \dots x_r</math> - найдутся однозначно.  <math>x_{r+1},x_{r+2} \dots x_n</math> - можно задать любыми. <math>r_A = n \Rightarrow</math> только тривиальное решение.

===Cвойства решений однородных СЛАУ.===

* Если Х - решение матричного уравнения <math>AX=\Theta</math>, то <math>\forall \lambda \in R^1, </math>

<math>\lambda X =
\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \dots \\ \lambda x_n \end{pmatrix}</math> снова будет решением.
* <math>X_1</math> и <math>X_2</math> - решения, то <math>(X_1 + X_2)</math> - тоже будет решением.
* Если <math>X_1 \dots X_k</math> - решение системы, то для <math>\forall</math> чисел <math>\lambda_1 \dots \lambda_k \in R^1</math>, <math>z=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_i X_i</math> - будет решением системы.

===Формула общего решения однородных СЛАУ===
{{Определение|Cистема решений СЛАУ <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> называется фундаментальной системой решений <math>\Leftrightarrow</math> система <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> линейно независима.
}}

{{МатТеорема|Пусть <math>r_A<n</math>; <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> - ФСР для СЛАУ, тогда <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r}C_j X_j</math> - является общим решением СЛАУ. т.е. :

# <math>\forall (C_1 \dots C_{n-r}) \in R^1 </math> сумма <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j</math> - является решением СЛАУ
# <math>\forall X^*</math> - решения системы <math>\exists !</math> числа <math>C_1^* ,C_2^* , \dots ,C_{n-r}^*</math> : <math>X^* = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j</math>

}}

{{Доказательство|Cистему запишем в матричной форме;
<math>X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix} ,
\Theta = \begin{pmatrix} 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow A X = \Theta, \Rightarrow</math> поскольку <math>X_j</math> является решением <math>\Rightarrow A X_j = \Theta,  (j= 1,2 \dots ,n-r).</math> 

Докажем выполнение условия
<math>A(\sum\limits_{j=1}^{n-r}C_j X_j) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j (A X_j) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j (\Theta) = \Theta.</math>
\\2) пусть <math>X^*</math> произвольное решение системы. <math>X^* = (\beta_1, \dots , \beta_r, \beta_{r+1}, \dots ,\beta_n)</math>. 

Cоставим матрицу:

:<math>
\begin{pmatrix}
              & X_1                 &           & X_r                & X_{r+1}             &          & X_n                 \\
X^*       & \beta_1           & \dots & \beta_r         & \beta_{r+1}      & \dots & \beta_n           \\
X_1        & \alpha_{1,1}  & \dots & \alpha_{1,r}  &\alpha_{1,r+1}  & \dots & \alpha_{1,n}   \\
              & \dots              & \dots & \dots             & \dots                  & \dots & \dots               \\
X_{n-r}  & \alpha_{n-r,1}& \dots & \alpha_{n-r,r}&\alpha_{n-r,r+1}& \dots & \alpha_{n-r,n} \\
\end{pmatrix}
=D ;
</math>

<math>(n-r) \leqslant r_D \leqslant (n-r), \Rightarrow r_D = (n-r)</math>

покажем единственность.

<math>\tilde C_1 X_1 + \tilde C_2 X_2 + \dots + \tilde C_{n-r} X_{n-r} = X^* = C_1^* X_1 + C_2^* X_2 + \dots + C_{n-r}^* X_{n-r} </math>

<math>( \tilde C_1 - C_1^*) X_1+( \tilde C_2 - C_2^*) X_2+\dots + ( \tilde C_{n-r} - C_{n-r}^*) X_{n-r} = \Theta </math>
}}

===Формула общего решения неоднородных СЛАУ===
Неоднородная СЛАУ:

:<math>\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1,n}x_n=b_1 \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{2,n}x_n=b_2 \\
\dots  \\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{n,n}x_n=b_n
\end{cases}</math>

{{МатТеорема|<math>X_{OH} = X_{OO}+X_{4H}</math> (общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.)
}}
{{Доказательство|1) покажем что <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j + X_{4H}</math> является решением при любых <math>C_1, \dots ,C_{n-r}</math>. <math>{ } A(\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j + X_{4H}) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j A X_j + A X_{4H} = \Theta +B</math>.

2) покажем что для любого решения системы <math>\exists ! C_1^*, \dots ,C_{n-r}^*</math> такие что <math>\tilde X = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j + X_{4H}</math>. возьмём <math>Z = \tilde X - X_{4H}, \Rightarrow Z</math> удовлетворяет однородной системе и <math>\exists ! C_1^*, \dots ,C_{n-r}^* : Z =  \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j  \Rightarrow \tilde X =  \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j  + X_{4H}.</math>
}}


[[Категория:Линейная алгебра]]